飽受誤解的建構式數學

建構式數學, 其實是指, 利用"建構式教學的方式來教數學"
而建構式教學, 是一種非常好的方式, 只是, 它不那麼適合大班教學
加上之前教育部在推建構式數學時, 並沒有做好配套措施,
對於授課的老師沒有做好足夠的教育
而且, 又有不懂的老師, 與補習班在媒體上的誤傳
在不懂的狀況下, 瞎子摸象, 所以才會被傳成這樣子

建構式教學和傳統教學, 最大的不同,
是傳統教學以"老師為核心"
在傳統的教學模式下, 由老師決定要怎麼呈現當下的數學知識,
由老師決定, 要用什麼方法來解決這樣的問題
所以學生的角色是片面接受, 然後努力理解,

而建構式教學則是以"學生為核心"
老師在授課前, 必需要先掌握學生目前的狀況
授課一開始先把基礎的核心讓學生知道
之後, 陪著學生一起建構出方法
老師所扮演的角色是引導者與修正者

就拿板友所提到的乘法為例

傳統的教學, 就是老師先把乘法的概念陳述完畢(甚至很多老師不做這一步)
接下來要求學生背九九乘法表,
等確認為學生都背誦完,
再教學生直式乘法, 要學生照著老師的步驟一步一步的操作

而建構式的教學, 一開始是老師要先確認學生會"加法"
接著, 老師把乘法的概念陳述清楚, 讓學生知道乘法的本質(連續的加法)
然後, 開始找方法, 舉例來說, 我可以利用下面的問題引導

1. 5 * 3 = ?

學生會知道 5 + 5 + 5 = 15
此時, 學生會和 vbangus 板友的反應一樣, 這樣不是很麻煩?
如果沒有這樣的反應, 我也會丟一題

2. 123 * 456 = ?

在這裡就是要學生算不出來, 因為這樣他們才會開始建構乘法
於是, 接著我會連續像這樣的題目

3. 50 * 3 = ?
4. 500 * 3 = ?
5. 5000 * 3 = ?
6. 50000 * 3 = ?

於是學生或快或慢就會發現, 其實他沒必要真的去把它們做完,
後來就會發現, 他其實可以把 5 * 3 的答案拿來應用, 後面再加 0 就可以

接者, 可以讓學生去理解

7. 3 * 5 = ?
8. 5 * 4 = ?
9. 4 * 5 = ?
10. 4 * 7 = ?
11. 7 * 4 = ?

沒錯, 就是讓學生理解交換律, 用類似的方式,
讓學生想出下面的題目

12. 5 * 30 = ?
13. 5 * 300 = ?
14. 5 * 3000 = ?
15. 50 * 30 = ?
16. 500 * 300 = ?

等學生有單一位數的處理能力,
接著再利用
17. 1200 * 3 = ?
18. 1000 * 3 = ?
19. 200 * 3 = ?

===== 以上 ====

相信板友應該已經發現, 這就是大家在"電視上", "報紙上",
甚至"某些老師口中"所說的建構式數學
但是, 其實核心是在"建構", 而不是"怎麼建構"
建構是本質, 怎麼建構是手段
所以建構式數學教出來的學生, 和傳統式數學教出來的學生,
在一般已知的題目, 表現並不會有什麼不同
因為即便是建構式數學,
還是會要求學生修正方法到可用的狀態
最大的不同在於
遇到"未知的題目, 而且用已知的方法無效"的時候
傳統的學生大多會選擇"放棄"
因為對他們來說, 老師沒教, 所以是範圍外
但是, 對於建構式的學來說
學習的歷程本來就是自己在探索未知,
老師只是引導者的角色
所以"通常"都會繼續想下去

當然, 傳統的方法也會教出有建構能力的學生
建構式的方法, 也會教出不願意繼續探索的學生
但是這是本質上的不同

只是, 建構式的方法, 並沒有"規定"老師要怎麼建構
老師在建構的過程中, 在適當的情境下也可以引入九九乘法表
所以會有這樣的狀況發生, 是目前的執行者執行出問題
而不是這套概念的問題

就像一個從沒有吃過炸物的家庭
有人教媽媽這樣的方式料理, 媽媽不會炸, 炸黑掉了
於是爸爸拿著炸黑掉的食物告訴孩子和街坊鄰居
你看, 用炸的東西就是這醜, 還臭臭苦苦的
所以炸的方式根本就不適合用來料理
你覺得, 正確嗎?

12/6 隨手記

昨天因為老師感冒，所以就幫他代課，其實說代課也是怪怪的，因為本來這班學生就是我和老師兩個人一起帶的，只是因為老師正在教我有關國中資優數學的東西，所以大多數都是老師在帶。

不過昨天上課時，因為是教幾何，所以提到軌跡的部份(其實老師後來有說，這部份不用先教)，因為對於八年級的學生來說，這部份的難度真的有點高，畢竟解析幾何的概念不是那麼容易上手，所以就拿尺規作圖來和學生作溝通的媒介。結果有點小糗，因為課堂上自己提問給學生：

給定一個圓 O1，與圓外一直線 L 與 L 上一點 P，要怎麼過 P 點作一個圓 O2，使得 O2 同時和 O1 外切，且與 L 相切。

當場討論 10 分鐘找不到答案，就先帶過，承諾學生下次會把答案帶給他們。

今天在星巴克備課的時候，就開始想這個題目，後來才發現自己果然是能畫出來，只是當時還挺糗的。

不過一備課就欲罷不能，開始想，如果給定一個圓錐曲線，怎麼用尺規去找出它的相關資料。如

1. 給定抛物線，找出焦點與準線
2. 給定橢圓，找出焦點
3. 給定雙曲線，找出焦點

目前還卡在最後一題，雙曲線的部份，目前已經找到貫軸，不過....繼續卡中

求歪斜線的公垂線的方法

一直以來, 求歪斜線的公垂線, 基於課綱中沒有外積
所以課本裡往往都得利用內積來得到兩個二元一次式
解二元一次式來求參數式中的參數
不過寫起來很複雜, 不斷的重複抄寫, 不僅速度慢, 而且麻煩
教學的時候, 學生往往會選擇放棄

所以這次我利用課綱改版, 將外積放入, 所以利用外積來求公垂線
也把它整理出來, 如果有需要, 請自行取用

如果有人有什麼建議請告訴我

https://docs.google.com/viewer?a=v&pid=sites&srcid=ZGVmYXVsdGRvbWFpbnxkdW5zdHBhZ2V8Z3g6NWE2YTU2MTllNWQ4ZTRjYg

9/14 隨手記

昨天代老師去帶國二資優班的討論課，這是一個很特別的經驗。一題掛黑板的數學題目，使得全班都動了起來，真的很難去論斷這次的教學是成功還是失敗。

一直以來，都覺得自己在數學的能力上有待加強，尤其是資優數學的部份，真的是近乎虛弱的狀況。不過，由於有老師坐鎮，一直都沒有大問題。這一屆的資優班對我來說是一個全新的經驗，從老師，從同學的身上，我都不斷地在學習。
在昨天的課程中，出現了這個題目，如右圖，三角形 ABC 是等腰三角形，CA 的延長線上取一點D，過 D 點交 AB 的延長線於 E 點，而且 BC = CD = AE = DE，求角 BAC。


這個題目我掛在黑板上，其實一直到最後都沒解出來。就一個老師來說，這樣是很失敗的狀況。可是在課堂上，也許是因為我平時就不是以強者的角色出現在班上，所以班上的同學整個就討論起來了。有人圍著我和我一起討論，有人則是三三兩兩成小組討論，而各組之間不斷的交換彼此的意見，從各個角度去解題。甚至有人會開始去思考，出題老師為什麼會出這樣的題目。一直到下課的時候，大多數的同學都不願意離開，深怕自己一離開，其他人就剛好解出這個題目。

說真的，當下我很感動，這樣子的學習氣氛我知道是老師一直想要的。只是就像同學在討論中不經意說的，李老師太強大了，所以整個討論還來不及成形，就已經看到李老師解完了。這樣子的回應，讓我在課後深思頗久。和李老師在一起這一年來，我上課的"效率"愈來愈好，不過，在不注意的狀況下，不知道自己的"耐性"是否有變差？這應該是我接下來要注意的事。怎麼去取得這兩件事之間的平衡？要怎麼讓學生能夠像昨天那樣子的熱烈參與討論？可是又不致於讓學生的學習失去效率？

第二次座談會

第二次的座談會時間和地點都確認了

時間: 7/27(週二)晚上 19:00 ~ 21:00
地點: 文化大學推廣部大夏館(台北市建國南路二段231號) B302

主 題: 談學生與家長

有關"引用文章"

最近發生一個狀況，有網友來請求要引用文章，對我來說，引用文章是一種肯定，所以我就很高興的同意。只是，等到有空去看了一下對方引用文章的方式，說真的，有一種很不舒服的感覺。因為一整篇文章幾乎都 copy 過去，而且變成內文的一部分，卻只有一句..."在某篇文章中"、或者是"下面這篇文章為轉貼"，然後就什麼都沒有了。

其實該網友和一般盜文的人不一樣，他很有誠意的來請求轉文的同意(雖然是在轉貼之後才來問)，不過，總算是有來問。但是，對我來說，引文應該是要附上原文的網址、作者，這是對原作者的基本尊重。否則，你轉過去，如果又被另一個人轉，轉來轉去之後，若有一天我被人指著鼻子說，我的文章是抄某人了，這會讓我很火大。

如果往後有網友要引用文章，我還是很樂意，但是請在你的文章上附上引文的網址、原作者，也請你可以的話，通知我，讓我知道自己的文章被人引用了。否則，看到自己的文章突然變成別人的，那種感覺真的很不舒服。

5/28 隨手記

今天的家教課，在課堂的最後，做了一件好久沒做的事---試圖利用情緒的劇烈變換來打斷學生在學習上的神經連結。這個學生一直以來，都自認為是一個小大人，會說是自認為，主要是因為他花了很多時間去思考，卻沒有太多的人生經驗在背後支持。有時候古人的智慧是很犀利的，『學而不思則罔，思而不學則殆。』真的是蠻經典的學習體驗。在這個學生身上，就很明顯可以看到他在沒有足夠的認知下，空想會想出的狀況。

其實他的狀況在後段的學生中並不罕見，對他來說，數學在學習成就上從來就不友善，所以當他遇到不熟悉的事物往往都會先下意識的否定自己的能力，接著就開始催眠自己做不到，於是陷入一種煩燥的情緒，最後就讓他有足夠的藉口可以選擇放棄。這次的課程在後半段也是如此，他一邊碎碎唸，說著好複雜的題目，好複雜的數字；另一邊就開始出現很離譜的錯誤。在當下我就吼了他一聲，然後以反差很強烈的嚴肅語氣打斷他的惡性循環。接著安撫他的情緒，再引導回到正常的運算節奏中。有效嗎？我想當下是有的，只是這樣子的狀況，我想不是一次就能解決的。

身為一個家教老師，許多事都是自己的工具，課堂上的情緒自然也不例外。隨著自己的腳步踏入班級經營，我想要學的東西將會愈來愈多。對我來說，是一件既恐懼又興奮的事。也許有一天，我能朝著自己心中的完全型態更加接近，在還離很遠的現在，大概就只能從別人的口中的肯定，來削減自己前進時的不安吧。

另一件有趣的事，是借用文大推廣部所舉辦的座談會，終出現在它們的網頁上了。
【講師學堂】 家教老師的面試技巧 - 如何從家長的手中接成家教
想來的人，除了可以和我連絡之外，也可以直接和文大推廣部的負責人直接連絡，打電話到27005858*1預約（課程代號0KS899061　講師學堂-家教老師的面試技巧)。希望自己到時候能讓來參加的人能有不虛此行的感覺。

5/27 隨手記

前幾天終於受不了家裡和隨身攜帶的鍵盤配置上的不同，又買了一隻新的鍵盤。現在會再次寫 blog，其實是因為在享受打字的快感，用好的工具，真的會有不同的感覺。

一隻 3000 元的鍵盤對於某些人來說，是件奢侈品。對我來說，不能說是必需品，但絕對不是奢侈品。有人會願意花二萬元買一隻手機，也許真的有很多功能，可是一隻含門號 2000 的手機，就滿足我這五年的需求。因為手機對我來說，就真的只是用來打電話，收發簡訊。好啦，我承認，有時候利用它打打小遊戲用來打發等待的時間。所以我不願意多花資源在上面。

工具的價值，端看它如何被利用，其實也會讓我想到在教學上，許多老師會教學生一堆解題的技巧。對於這些學生來說，這些技巧真的有用嗎? 它真的是能解決學生在學習上的問題? 還是只是成為老師展示自己能力的舞台? 有太多時候，看到的解題技巧真的就只能解決一些特定的問題，問題是為了讓所教的技巧發生作用，所以又設計了一堆特定的題目，只為了讓學生非用這些技巧不可。個人覺得這是一種惡性的循環，對學生的學習是一種傷害。

以高中在教多項式時，教到餘式/因式定理的時候，其實我覺得最重要的應該是除法算則。我會花很多時間對學生解釋除法算則的想法和用途。甚至在許多時候用它來取代一些很漂亮的解題方法，只因為我覺得它才是最重要的基礎。至於對那些特定題目的特殊解法，大概就只會在時間還夠或是學生問到該題目的時候，順道帶到。或許是因為家教的時間不如學校老師多吧，我只能選擇最有效率的教學內容。就像 80/20 理論那本裡所提到的，80% 的問題就是由 20% 的方法所解決，而剩下 20% 的問題則由那 80% 的方法去處理。我只想在教學之前找到那 20% 的方法，讓我的學生在學習的時候，能夠更輕鬆點。

隨手記

好久沒有寫網誌了，許多時候人都只是給自己許多藉口。忙是一個很好用的藉口；打字很麻煩是另一個很好用的藉口，但是藉口終歸是藉口，騙得了別人騙不了自己。所以總得開始寫些什麼來為自己的生活留些痕跡。

自從遇到老師之後，我的一切都在變化中，從工作的內容，到自己對於教學的方式，我自己都感覺得到自己的變化。只是這一年來，卻讓自己對自己的不足愈來愈恐慌，擔心來不及在老師給我的三年期限內，學到足夠說服自己的成果。也許真的是懂得愈多，才發現自己不懂得愈多。也或許是這一年來跟著老師教資優班的課，讓自己開始會擔心自己是不是真的有能力在二年後，對於手上的學生負責任。畢竟老師給的三年期限已經過了一年了。

在這一年的磨練，跟著老師的思維模式去看數學、看教學，很清楚這一年來的進步是前幾年的五倍十倍，但是那種對於學習的飢渴和恐慌卻有點打亂成長步調，從去年剛開始的忙亂，到後來的適應，甚至是這一陣子的放縱，不去控制成長的步調。自知自己的成長是符合老師的期待，也符合身旁合作伙伴的期待。唯一不滿意的人大概就只有自己吧。

再過半個月，就要開座談會了，到時候能給與會的伙伴們什麼樣的訊息和內容? 也許就看看吧。

六月份的座談會

其實本來已經沒有要辦, 畢竟人太少的時候, 場地不好處理
不過, 昨天和文化大學推廣部的人見過面
他們認為這樣子的活動很有意義,
所以願意免費出借場地, 所以就決定辦了.

時間定在 6/15（二）下午13:30-15:30

地點則是在文化大學推廣部建國本部(大夏館)
http://future.sce.pccu.edu.tw/service/service01.asp

至於會在那個場地, 就要看他們怎麼幫忙申請了

至於主題, 因為接近國中生/高中生的新生入學,
所以針對新接 case 的家教老師需求,
我想以 "家教老師的面試技巧" 為主題
當然, 如果到時候有一些其他的問題,
在座談會的後半段, 也可以提出一起討論

備課, 真的有那麼難嗎?

家教板上最近出現一串討論，文章的篇數不多，不過主要是有人提出兩個對國中數學的問題

1. 國中到底有沒有教斜率？
2. 如果沒有教斜率，那要怎麼解釋方程式相互平行的假設？

問題的答案其實很簡單，以現行的國中教材，根本就沒有提到斜率。也因為如此，所以根本就不會有任意兩直線互相垂直的條件下，求方程式的題目。

會提出這樣的問題，只代表一件事，就是這個家教老師在上課前沒有備課；在上課遇到這個問題後，仍然不想備課。為人師者，如果連自己所要教授的範圍都不清楚，我不懂，如何當一個適任的老師。

而在這串討論後，還是有人堅持國中"應該"要有教斜率才對，否則怎麼解釋任意直線垂直時，方程式之間的關係。

我並不是想指責任何人，只是在板上總有人會去羡慕別人容易找到家教，有人會去羡慕別人高薪。但是這些羡慕別人的人之中，有幾個是真的很仔細去備課。以我自己來說，我自認為備課的程度還不足，所以即便教學生涯要進入第 15 年，仍然是在努力備課中。我不懂，為什麼有人可以認為自己已經唸到大學，就表示國中數學的教學一定沒有問題？如果不是，那為什麼不備課呢？

終於決定要開超小型的家教班

被老師唸了半年了，終於乖乖的開始動作了。

準備在今年七月份開始，收國一的學生，目標是四、五個一班，一週一堂課二到三個小時，每個月收 3500。這樣子的人數比較好掌握每個學生的狀況。而且目標不要擺太高，畢竟在這個領域，我還是新手。雖說這樣上課的方式和家教其實沒什麼兩樣。

永和地區，有沒有人要幫我介紹學生啊..^_^